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I-Première phase: action
Cette première phase doit mettre les élèves en action et leur faire mobiliser leurs connaissances antérieures pour qu’ils se mettent ensuite en situation de recherche pour trouver un résultat du programme. Cette façon de faire passer un savoir est une didactique de situation-problème: les connaissances théoriques répondent à un problème souvent pratique.
La mise en action des élèves est un point essentiel d’une activité. Elle va déterminer leur investissement. Pour cela, il faut être très vigilant à l’égard des trois paramètres de l’hétérogénéité: motivation, gestion mentale, apprentissage.
La motivation
La motivation des élèves, nous l’avons vu, dépend de leur envie d’aller en cours. Nous en avions déterminé trois intérêts: le contenu, la présentation et les applications.
Dans la mise en action des élèves, l’intérêt suscité par le contenu est très lié à la présentation. Celle-ci ne doit pas être trop spécialisée pour permettre à chacun de s’y retrouver. Par exemple, lors d’une activité sur la notion de fonction, j’avais décidé d’introduire cette notion en étudiant des représentations graphiques fournies par les élèves et moi. Mais même ces documents étaient trop spécialisés pour que chacun s’y retrouve. Ils étaient extraits de revues ou de documents appartenant aux domaines spécialisés de chacun. Par exemple, il y avait des représentations de régimes de moteur de voiture. Par la suite, ils ont travaillé sur une activité de leur livre où était représenté le vol de deux deltaplanes, sujet ne le concernant pas forcément mais ils ont tout de suite été très actifs.
Leur motivation pour les applications dépend du support du contenu.
La gestion mentale
Pour qu’une activité débute bien, il faut que les élèves soient à l’aise pour réfléchir et qu’ils puissent facilement se remettre en situation. C’est à ce niveau qu’intervient la gestion mentale. La façon de présenter le support doit mettre les élèves en condition de réussite. Comme une activité commence soit par des constatations sur un document, soit par le réinvestissement de connaissances antérieures, il est nécessaire que cette présentation prenne en compte les différents types d’évocation des élèves. Pour cela, en tant que professeur, nous devons proposer des présentations à la fois visuelles et auditives. Sur l’exemple précédent, la description de la situation a été faite oralement à la demande de certains élèves qui ne comprenaient pas la représentation. Cette explication a été faite par questionnement. Ces questions qui leur étaient adressées individuellement les ont obligés à se plonger dans le sujet. Ainsi l’effet voulu a été obtenu.
Le dialogue lors de cette phase de préparation est le moyen le plus approprié quand il est réalisable pour que attirer aussi l’attention des élèves ayant une évocation auditive.
Apprentissage
L’apprentissage ne commence pas dans cette période. Il est essentiel que les élèves se concentrent sur l’application de leurs connaissances antérieures. L’apprentissage concerné est donc celui des années précédentes. L’apprentissage des contenus est normalement le même pour tout le monde. Par contre, les méthodes ne sont pas forcément toutes exigibles. Il faut donc ne réinvestir que celles dont on est sûr qu’elles ont été étudiées par tous.
Mais les stratégies utilisées par les élèves pour répondre aux questions posées diffèrent. Il faut prendre en compte chacune d’elle sans en favoriser une en particulier sauf éventuellement si on est sûr qu’elle a été vue par tous (par exemple lors du réinvestissement d’une notion abordée dans un chapitre précédent).
Par exemple, à la suite du chapitre sur la notion de fonction, j’ai demandé aux élèves d’étudier les fonctions de référence. La stratégie à adopter avait été vue de manière générale en cours.
Construction de l’activité
Pour construire une activité, il faut prendre en compte tout ce qui a été vu précédement mais en plus l’inscrire dans une progression et un programme.
L’activité doit donc permettre aux élèves de se plonger dans le sujet. Elle doit aussi permettre à chacun de se mettre en situation de réussite dès le début. C’est elle aussi qui va motiver les élèves et les mettre en situation d’apprentissage par une recherche
Pour que ces conditions soient réunies pour tous les élèves, il faut partir de leurs acquis antérieurs et de leur mode d’évocation le plus familier. On retrouve l’importance de la connaissance du groupe classe. La motivation est essentiellement apportée par le sujet d’application et par l’enjeu stratégique ou par le défi donné aux élèves.
Il est évident que tous les élèves n’ont pas retenu les mêmes notions de la même manière les années précédentes. Les seules données qui ne varient pas sont les connaissances exigibles du programme. Il faut donc partir de là. Les différentes stratégies doivent pouvoir être utilisées. Pour cela les questions doivent être de type ouvert permettant à chacun d’avoir sa propre réflexion.
Le support, lui, va prendre en compte l’intérêt général de la classe et il doit être suffisament large pour que chacun s’y implique un intérêt mais pas trop pour que l’exploitation et la réflexion soient possibles quels que soient les paramètres d’évocation.
Cette première étape dans une activité ne devrait donc comporter qu’un document avec une question mettant en évidence l’intérêt de l’outil que l’on veut développer.
L’intérêt de toute cette préparation au travail est de poser les objectifs de connaissances en réponse à des questions introduites par la situation.
Il faut donc que les élèves à partir d’un problème apparemment accessible pour eux, en arrivent à se poser des questions. Faut-il que tous se posent la même question? C’est là qu’intervient l’intérêt de l’hétérogénéité. Si chaque élève se pose une question différente, la situation proposée sera beaucoup plus riche. Chaque élève ayant sa propre interprétation des données, les exploitations seront toujours différentes.
Pour cela, il faut que les questions posées soient ouvertes pour permettre à chaque élève d’être libre de sa stratégie ou de son interprétation.
Par exemple, pour l’étude des fonctions de références, j’ai réparti l’étude de chacune d’elle dans des binômes avec pour consigne d’en faire une description. Les binômes étaient donc libres de choisir la stratégie qu’ils allaient employer sachant qu’ils avaient eu un cours sur la notion de fonction et leurs caractéristiques (ensemble de définition, monotonie, extremum ). Des questions se sont posées sur la façon de les décrire, mais aussi sur la façon de décrire leurs caractéristiques particulières telles que la parité ou les ensembles de définition.
Cette partie ne peut pas être faite en classe entière ou en grand groupe (4/5 personnes). Elle est essentiellement faite pour que chaque élève s’investisse dans son travail et que celui-ci vienne d’une production personnelle. Le travail en binôme peut être employé lors de travaux plus ouverts où les élèves n’ont que peu d’expérience. Le fait d’être à deux leur permet de se compléter. La discussion ne doit pas porter alors sur les questions mais sur la stratégie d’où l’importance dans ce cas de demander une production écrite individuelle quitte à prendre un moment durant le cours où chacun travaille seul.
Le rôle de l’enseignant dans une telle organisation est d’être une personne ressource. Il doit être là pour répondre aux demandes des élèves. Ainsi un élève plutôt auditif aura besoin de parler pour évoquer son problème. D’autres sur un sujet théorique auront besoin d’un exemple pratique; l’enseignant est là pour leur fournir.
Un autre rôle de l’enseignant est d’aider les élèves dans leur progression déductive. Généralement trois cas de figure se présentent: celui où l’élève a compris et arrive à préciser les questions qu’il se pose; celui où l’élève a compris et sent qu’il y a quelque chose qui lui pose un problème. L’enseignant doit l’aider à déterminer le problème par des questions. Mais il ne faut pas poser des questions trop précises. Je pense que le rôle de l’enseignant dans ce genre de situation est d’apprendre à l’élève une stratégie de recherche des problèmes. Pour cela, il faut essayer d’être régulier dans les questions posées. Par exemple, lors d’une recherche, faire poser aux élèves la question " pourquoi? " à chaque étape. Si le schéma est toujours le même en étant éventuellement caricatural, l’élève l’exploitera dans sa stratégie. Il me semble nécessaire que sur ce point, l’enseignant ne cache pas la façon dont il résout les problèmes. Si l’élève assimile sa méthode, la diversité de ses professeurs fera la diversité de ses stratégies. Le troisième cas est celui où l’élève répond aux questions de l’activité comme à celles d’un exercice. L’enseignant à pour rôle de montrer où il y a un problème et de lui faire contourner cette épreuve. Généralement ce type d’élèves fonctionne par défis et son but est d’être celui qui aura trouvé la solution avant tous les autres. La demande d’explication de leur raisonnement est des plus enrichissante car elle permet lors d’une exploitation en classe entière d’avoir un débat qui, s’il est bien dirigé, amène les élèves à se poser des questions assez profondes quant à la stratégie et aux contenus.
Conclusion
Cette première phase doit se terminer, pour les élèves, sur des questions et des interprétations claires. L’intérêt de celles-ci ne sera que dans les réponses que l’on y apportera. L’élève doit donc apprendre à les formuler clairement pour ensuite les communiquer et le professeur doit l’aider.
II-Deuxième phase: formulation
Après avoir fait une recherche sur l’activité proposée, il faut exploiter les résultats trouvés. Chaque élève a ses propres données. Il faut les mettre en commun et donc que chacun les formule pour pouvoir les communiquer et les exploiter.
L’intérêt de faire formuler aux élèves leur résultat est de développer leur capacité à exprimer leurs idées dans le but de les échanger.
Pourquoi les élèves doivent formuler leur résultats? C’est une question qui pour nous est évidente : c’est pour leur permettre d’expliquer leur démarche qui a été de passer d’une idée intuitive à un résultat en mettant en évidence les relations qu’ils ont utilisées.
Pour les élèves au contraire, leur motivation n’étant pas l’intérêt mais le jeu, la seule chose qui compte pour eux, c’est le résultat. Il faut qu’il soit juste pour qu’ils gagnent. Mais aux questions auxquelles ne correspond pas une réponse précise, ils ne peuvent avoir raison ou tort. Le seul moyen pour eux de dire qu’ils ont la bonne réponse est de justifier ce qui les y a amené. En effet, s’il s’agit d’une activité de recherche, l’interprétation qu’ils ont faite de la question n’est pas forcément la même pour tous.
Ainsi nous les avons fait passer petit à petit d’une démarche de jeu à une démarche explicative. Il ne reste plus qu’à les faire passer à une démarche utilitaire.
Il reste la façon dont ils vont s’exprimer. Cela va dépendre de ce qu’ils ont compris de l’intérêt de l’activité. Certains sauront qu’il s’agit d’une préparation de cours donc ce sont les résultats qui seront récompensés, d’autres penseront que c’est l’application qui compte, et présenteront surtout des exemples, pour d’autres ce sera la démarche donc ils développeront les démonstrations, d’autres enfin penseront davantage aux applications. Là encore la gestion mentale de chacun va déterminer la présentation qui va en être faite. Un autre paramètre qui va entrer en compte, c’est le moyen utilisé pour représenter les résultats. Certains utiliseront les dessins, d’autres la rédaction, d’autres les symboles mathématiques ou les abréviations et enfin certains rédigeront peu en pensant développer leur idée à l’oral.
Ainsi, dans l’exemple de l’étude des fonctions de références, certains n’ont fait que la représentation graphique, d’autres l’ont accompagnée d’un tableau de variation, d’autres encore ont ajouté un tableau de valeurs. Pour les décrire, certains ont symbolisé les extremums, d’autres ont fait une phrase, d’autres ont donné uniquement la valeur numérique.
On voit que la formulation employée sera différente sselon les élèves et que l’on ne retrouvera jamais la même.
Aussi je crois que l’enseignant ne doit pas imposer une méthode particulière. Il doit aider chacun dans sa propre démarche sans en favoriser une en particulier. Mais un professeur a lui aussi sa propre gestion mentale et ses propres objectifs. Il doit apprendre à les faire oublier lors de cette étape afin d’optimiser les résultats des élèves. Une autre difficulté pour lui est de se mettre au niveau et dans le mode de raisonnement de l’élève à qui il vient en aide. Il doit s’adapter ce qui signifie qu’il doit avoir une idée où veut en venir l’élève et sa démarche. L’expérience est l’un des meilleurs moyens. En effet, après quelques années d’enseignement, on a vu de nombreuses réactions face à une situation qui permettent de cerner un peu mieux où les élèves veulent en venir.
Ce genre de situation m’est arrivé quand des élèves sur une activité me demandaient si ce qu’ils pensaient était juste. Comment leur répondre quand on ne connait pas leur démarche? Il faut alors leur faire décrire tout leur cheminement pour pouvoir savoir si ce n’est qu’un problème d’interprétation ou un problème de raisonnement car ces deux problèmes induisent une démarche totalement différente dans l’aide à apporter.
Ce travail de rédaction doit se faire seul car chacun a sa propre démarche et le fait de formuler les résultats à plusieurs demande déjà de la part de chacun un effort de formulation. De plus le travail réaliser à plusieurs peut donner lieu à des formulations ainsi qu’à des interprétations totalement différentes. J’ai pu le constater lors des devoirs à la maison où j’avais autorisé le travaille en groupe mais à condition de ne pas rédiger ensemble. Certains avaient très bien compris et cela se voyait dans la rédaction, pour d’autres elle était confuse et le résultat ne se trouvait pas au bon endroit. Il y a eu aussi le cas où deux résultats identiques étaient présentés de manière différente notamment lors de la résolution d’inéquations avec valeur absolue. Certains ont employé la représentation graphique des intervalles, d’autres les inégalités.
Il est donc plus intéressant d’avoir des rédactions personnelles que des rédactions de groupe lors de cette première étape même si le travail de recherche s’est fait en binôme.
Le travail précédent n’était qu’un travail préparatoire au travail qui suit. En effet, comme nous l’avons vu, il y a généralement une grande diversité dans les résultats et les rédactions des élèves. Toutes ont un intérêt particulier et peuvent parfois se recouper. Il est intéressant de les partager entre les élèves.
Chacun ayant sa propre interprétation des questions et les intérêts n’étant pas toujours les mêmes, la présentation des différents points de vue va permettre à chacun de découvrir de nouvelles notions et de nouvelles interprétations. Lors de cette étape chaque élève doit, s’il est attentif, remettre en cause ou comparer ce qu’il entend et ce qu’il a fait. C’est aussi un excellent moyen pour que chacun affine son jugement sur ce qu’est une bonne rédaction ou une bonne justification.
Cet échange d’information est aussi un moyen de former les élèves à la vie en société où tous les individus sont différents et où chacun a son propre point de vue. Il permet aussi aux élèves d’apprendre à écouter puisque cette phase se fait sans dialogue. Il leur apprend enfin à prendre du recul.
La motivation va se faire par les relations qui existent entre les élèves: soit parce que ce sont des copains, soit parce qu’il y a un esprit de compétition, soit encore parce que c’est le même travail qui est présenté.
Le rôle de l’enseignant est déterminant car bien entendu, il ne peut pas interroger tous les élèves. C’est donc lui qui va choisir le moyen d’échanger. Il y a plusieurs façons: faire des groupes ou interroger oralement les élèves devant la classe ou encore demander à certains d’aller écrire leurs résultats au tableau. Sans favoriser une méthode en particulier, il faut savoir les alterner pour permettre aux élèves de dialoguer dans des petits groupes, de s’exprimer devant une assemblée, de rédiger devant de nombreuses personnes. Chaque gestion a son propre intérêt : l’une va permettre de développer l’évocation auditive, l’autre va développer l’affrontement d’idées au sein d’un petit groupe, la dernière développera l’esprit de synthèse et de rédaction et donc la perception visuelle.
L’enseignant doit choisir celle qui sera la plus adaptée à la situation et au public. L’interrogation et la formation des groupes a aussi son importance. Va-t-on faire jouer la concurrence entre les élèves ou bien va-t-on employer les relations préexistantes ? Va-t-on mettre en avant un élève en difficulté ou bien a-t-on l’intention de ne pas susciter le débat en choisissant un élève reconnu de tous? Ce sont autant de choix qui vont déterminer l’ambiance de travail et la façon dont vont être exploités les résultats et que seul le professeur est apte à déterminer. L’importance de tel facteur nécessite une bonne connaissance et une bonne observation du groupe classe. Là encore, l’expérience de différentes organisations collectives est un point fort.
Il me semble que cette phase a une importance dans l’autoformation de l’élève. Elle a pour rôle de former l’élève à être un citoyen indépendant avec un regard critique. Il m’apparaît nécessaire qu’elle se fasse sans dialogue pour permettre à chacun d ’essayer de comprendre la démarche de ses camarades pour ensuite lui apprendre à mieux déterminer les questions qu’il va poser ou les arguments qu’il va donner quand il n’est pas d’accord. De plus, elle permet à chacun de questionner sur les raisons d’une différence d’interprétation. Ce recul face à l’événement est aussi important dans la vie d’adulte. Il permet aux élèves d’exploiter les différences.
Tous ceci est sans doute très utopique mais je pense qu’il est important que des élèves qui doivent choisir leur orientation apprennent à écouter et à analyser les informations qu’on leur donne. Je pense que c’est aussi un des rôles des mathématiques qui sont une matière où la réflexion est primordiale, que de former les élèves à l’analyse de situation de la société.
La fonction de cette phase, qui n’est généralement pas exploitée de cette manière sort du contexte de la matière. Elle donne l’impression de perdre du temps. Mais le rôle qui lui a été donné précédemment n’est pas seulement utile dans la société. La responsabilité des élèves se retrouve aussi dans leur attitude lors d’un cours. Cela comporte des risques pour l’enseignant de voir son cours remis en cause par les élèves. Mais n’est-ce pas une façon de progresser?
III-Troisième phase: validation
A la suite de la deuxième phase, de nombreux résultats ont été présentés. Les élèves sont ou ne sont pas d’accord avec. Ils ont eu un temps de réflexion. Maintenant il faut déterminer ce qui va être gardé. Bien évidemment arrivés à ce stade tous les élèves veulent garder ce qu’ils ont fait. C’est là qu’intervient le rôle de la justification qui va permettre de déterminer les nouveaux objets dont on a besoin pour valider ce que l’on veut retenir et ce qui est vraiment nécessaire.
Durant les deux premières phases, tout ce qui a été trouvé n’a pas forcément été forcément vérifié. Pour peu qu’un élève développant une théorie sache convaincre ses camarades par la parole, les réponses aux questions auront pour fondement uniquement le bon sens.
Cette phase va donc mettre en avant l’importance de la justification mathématique. Cette phase bien que généralement nécessaire peut être réduite quand une leçon met plus le doigt sur les applications que sur la justification de résultat. Mais elle est importante dans la formation des élèves aux mathématiques.
Par exemple, dans l’étude des fonctions en seconde, la résolution des exercices passe par leur représentation graphique, faite à partir d’un tableau de valeur. De celle-ci, on ne conjecture que la monotonie de la fonction. Pour de nombreux élèves, la représentation graphique est une démonstration. Cette attitude se retrouve aussi en géométrie où on croit ce que l’on voit.
Cette phase est aussi propre aux mathématatiques. Par exemple, en physique et en biologie, les résultats théoriques doivent être validés par les constatations pratiques. En langue, l’explication d’un texte est donnée par l’ordre et l’emploi des mots. Cette façon de raisonner retrouve de l’importance dans la vie de tous les jours quand il est demandé de trouver une solution à un problème et qu’on n’a à sa disposition que certains moyens et outils.
Les élèves ont maintenant une ou plusieurs théories.
Si tous les élèves ont trouvé la même, alors l’activité était soit trop orientée, soit le sujet a été perçu de la même façon par tous les élèves. L’enseignant doit-il alors jouer le rôle du trouble fête? Je ne pense pas. Eventuellement s’il y a un problème dans la théorie proposée, l’enseignant doit le mettre en évidence. Il se peut que ce soit juste une erreur d’interprétation. Pour le montrer, ce qui est généralement le mieux compris par les élèves, ce sont les contre-exemples. Mais sans doute y a-t-il d’autres méthodes.
S’il y a plusieurs théories, il faut que les élèves en choisissent une. Sur quel critère cela va-t-il se faire? C’est la qu’intervient l’hétérogénéité. La justification va se faire selon les paramètres d’évocation des élèves c’est à dire que leur choix va dépendre de la façon dont il vont apprendre. Ils ne retiendront que ce qu’ils comprennent. Or comprendre c’est valider une connaissance. La validation va dépendre de leur paramètre d’évocation. En effet c’est celui-ci qu’ils utiliseront pour se reférer à leurs apprentissages. Ainsi un élève qui évoque à l’aide du paramètre du quotidien, se souviendra d’une notion comme une application dans ce qui l’entoure. Un élève qui évoque avec le paramètre de l’application simple emploiera les exemples numériques. Ces différences expliquent que tous les élèves ne seront pas forcément en accord sur la même théorie à l’issue de la deuxième phase. La validation de l’une d’elle se fera donc dans tous les moyens d’évocation.
Alors comment gérer cette phase? Par rapport à la gestion de la classe, il me semble préférable de travailler avec la classe entière même si cela ne permet pas de voir tout ce qui a été fait. En effet, la justification des résultats ne sera rendue que plus crédible si tout le monde y participe. Elle permet aussi aux élèves de ne pas se sentir isolés quand ils ont un avis. Généralement ils sont plusieurs à penser la même chose, sinon ils transforment leur avis en question et ainsi sont beaucoup moins agressifs qu’en petit groupe. C’est aussi la meilleur manière d’exploiter les différences. Toutes les questions que se posent les élèves sont généralement abordées.
La justification peut se faire alors sous forme de débat ou sous la forme d’un cours magistral.
La première méthode permettra aux élèves de s’exprimer devant un large public et d’affronter des avis différents. Elle leur permettra aussi d’argumenter leur avis et d’apprendre à comprendre les élèves évoquant dans un autre paramètre qu’eux. Le débat peut se faire soit sur un support oral soit sur un support écrit. Eventuellement, d’autres outils peuvent être employés tels qu’un rétroprojecteur. Les différents supports sont laissés au choix des élèves qui présentent. Aux autres de s’adapter à la présentation. Cette gestion de la présentation est une façon de développer chez les élèves les différentes évocations visuelles ou auditives.
Le rôle de l’enseignant est uniquement d’animer le débat. Il doit essayer de le rendre vivant pour que chaque élève se sente concerné et il est chargé de le nourir quand il y en a besoin. Il doit aussi éviter les déviations du débat sur le plan formel: ainsi ce n’est pas la présentation des résultats qui importe, même si elle joue un rôle dans l’apprentissage; en effet ce n’est pas le rôle du débat. Par contre, il ne doit pas laisser passer des contre-sens sans les expliquer.
La deuxième méthode permet de donner des exemples de ce qu’est une justification mathématique. Elle permet aux élèves d’avoir une référence. De plus, ces exemples varient suivant les professeurs et vont se compléter pour donner aux élèves une culture mathématique plus vaste. Elle est nécessaire aussi pour certains qui ont besoin d’un savoir brut pour ensuite appliquer. Ce sont les élèves employant le troisième paramètre en gestion mentale: l’apprentissage complexe. Cette façon de présenter les justifications quand elle n’ est pas employée trop souvent, est aussi une façon de motiver les élèves car elle leur permet de mesurer leur progrès pour comprendre une explication théorique. Pour certains, ce type d’explication est un indicateur. S’ils sont capables de les comprendre, c’est qu’ils sont capables de sauter des étapes dans l’apprentissage et ainsi d’aller plus vite. J’ai pu le remarquer au cours de cette année où au début je faisais surtout des cours magistraux et voyant que les élèves avaient du mal à suivre et à comprendre, je suis passé à la mise en place par les activités. Maintenant il m’arrive au cours des périodes de justifications de faire une démonstration théorique. Les élèves sont beaucoup plus attentifs et réceptifs. Il arrive même que l’une d’elle les amène à discuter.
Cette phase de justification permet de faire comprendre le cours aux élèves. Elle leur permet aussi d’apprendre à argumenter et à développer leur culture matthématique. Elle a aussi l’avantage d’être modulable dans sa gestion rendant ainsi les cours plus attractifs et faisant apparaître les mathématiques sous une forme plus vivante. Elle peut néanmoins ne pas être présente dans tous les cours quand le contenu n’est qu’une formulation nouvelle de ce qui a déjà été vu.
Enfin, pour la gestion de l’hétérogénéité, les élèves prennent conscience des différences qui les caractérisent. Par la mise en situation, ils s’aperçoivent que certaines façons de s’exprimer, de justifier, de raisonner sont plus adaptées ou plus claires pour des problèmes. Ces remarques sont d’autant plus efficaces qu’elles ne sont pas faites par le professeur mais qu’elles viennent de l’attitude de la classe et des constatations des élèves.
IV-Quatrième phase: institutionnalisation
Maintenant que les élèves ont déterminé les théories et les nouveaux termes à connaître, il reste à les structurer et à faire un document de référence. C’est la phase d’institutionnalisation. Son contenu et sa présentation sont déterminés par le professeur.
Cette phase doit permettre comme nous l’avons dit de donner aux élèves une fiche de référence sur les connaissances nouvelles à savoir. Dans le programme officiel, ce document est appelé une synthèse.
Son rôle est de donner aux élèves un document de travail pour résoudre des exercices et préparer un devoir. En effet, arrivés à ce stade, les élèves n’ont que des documents de travail qui leur sont personnels. Parfois ils n’ont pas perçu certains détails qui peuvent être importants par la suite ou encore certains ne pensant pas à l’emploi qu’ils en feraient ont négligé la rédaction des résultats. D’autre part, lors de l’introduction de nouveaux termes, il n’est pas évident de trouver la définition qui correspond le mieux.
Il est bon aussi de ménager dans le cours un temps de repos qui permette aux élèves de prendre du recul par rapport à ce qu’ils ont vu auparavant. La synthèse correspond à cette attente. De plus, elle fait ressortir les propriétés du contexte où elles ont été trouvées et permet ainsi aux élèves d’avoir un repère à la fois temporel visuel et auditif pour l’évocation de leur cours.
Il faut donc donner à chacun une référence pour qu’il n’y est pas d’ambiguité.
Mais que doit contenir une synthèse? Doit-elle se contenter uniquement du cours ou doit-elle aussi parler des méthodes?
Durant cette phase d’institutionnalisation, la synthèse ne peut contenir que des connaissances théoriques car c’est ce qui a été vu. Mais cela est bien insuffisant et les élèves en sont conscients. En effet, pour affiner ses contenus, j’ai fait une activité modulaire sur ce que doit être une synthèse. Ils en ont retiré qu’elle ne devait pas servir à comprendre le cours mais à travailler avec. C’est la façon dont les élèves travaillent qui a créé des points de divergence. Certains avaient besoin de formules sans exemple et sans rédaction, d’autres voulaient surtout des exemples, et d’autres encore voulaient surtout des phrases. On retrouve là encore des composantes de l’hétérogénéité. Il faut donc pour que chacun soit à l’aise dans l’emploi de la synthèse, qu’il y ait les différents types de présentations donnés précédemment ou demandés par les élèves. Ce qui était ressorti du module, c’est aussi qu’une synthèse devait être courte et claire. Pour cela, il ne faudra pas la surcharger d’exemples, de phrases et de formules inutiles. Ces demandes sont bien en accord avec le programme. Il en ressort aussi que la compréhension du cours ne se fait plus à ce moment. Elle se fait durant les trois phases précédentes ce qui nécessite qu’elles soient claires et bien tenues pour pouvoir servir de référence.
Mais il m’a aussi été demandé qu’elles contiennent des méthodes correspondant aux exercices. Ces méthodes n’ayant pas encore été vues, il faudra la compléter par la suite.
On a donc vu ce que devait contenir une synthèse. Maintenant il reste à déterminer de quelle manière il va falloir la présenter. Nous avons vu qu’il fallait employer comme présentation la rédaction littérale, sous forme de formule et sous forme d’exemple. Un point qui n’a pas été relevé lors de ce module parce qu’il n’était pas sur les bons cours c’est l’intégration de représentations schématiques: par exemple, l’emploi de tableau pour présenter des résultats, de dessin pour illustrer une propriété géométrique (on peut rapprocher cette représentation des exemples numériques en analyse).
Les contenus doivent aussi s’enchaîner de manière raisonnable. Par exemple, la progression peut suivre celle de l’activité.
Le moment où cette synthèse doit être faite est également déterminant pour l’imprégnation du cours par les élèves. Pour éviter que les élèves gardent une impression confuse du cours, il est nécessaire de le structurer aussitôt après la validation. Elle permet aussi aux élèves de resituer leurs découvertes à la fois dans leur recherche et dans la progression du cours. De la même manière, il est nécessaire de donner des exercices d’applications directes à faire à la maison. Tout cela parce que certains élèves ont besoin de résultats directs pour apprendre un cours, ce qui est rendu par la synthèse; que d’autres ont besoin d’applications concrètes, ce qui se trouve généralement durant les phases préparatoires de la leçon; que d’autres encore ont besoin de comprendre l’enchaînement mathématique qui amène au résultat et c’est ce qu’ils trouvent dans la justification; et enfin parce que les derniers ont besoin d’appliquer les résultats pour les retenir.
Le moment où la synthèse doit être faite se situe plutôt immédiatement après les phases de mise en place. Elle permet aussi de donner aux élèves une impression de travail fini.
Elle doit aussi se faire, autant que faire se peut, en classe entière ou bien il faut leur donner un document qui leur permette de savoir qu’ils ont tous eu le même cours car à cet âge-là, il y a une demande importante d’égalité du traitement et il est plus judicieux de le mettre en évidence. De plus, en cas de discussion, le support est identique pour tous.
Cette phase d’institutionnalisation est sans doute la plus difficile à gérer par rapport à l’hétérogénéité. En effet elle demande à ce que tous aient la même synthèse et que celle-ci prenne en compte toutes les différences sans être trop lourde. Il est bon, à mon avis, de développer le travail des élèves pour qu’ils le fassent évoluer de manière à ce qu’il réponde à leur demande.
V-Cinquième phase: réinvestissement
Nous avons vu dans le chapitre précédent qu’il fallait,suite à la leçon, donner des exercices d’application directe du cours pour faciliter l’apprentissage de certains élèves. Pour d’autres ce sera une façon de se familiariser au cours et de le réinvestir. Mais il y a d’autres types d’exercices: ceux qui doivent permettre le passage de l’objet à l’outil, des exercices d’évaluation formative et des exercices de recherche. C’est lors de la réalisation de ces exercices que nous allons gérer l’hétérogénéité en modifiant les supports, les présentations et les contenus.
Les exercices d’application directe du cours peuvent servir soit pour apprendre le cours quand ils sont faits en travail à la maison, soit d’exercice d’autoévaluation quand ils sont faits en classe.
Ce n’est pas pour autant qu’ils ne doivent pas tenir compte des différences. Ainsi ils doivent recouvrir à la fois l’aspect littéraire du cours, l’aspect algèbrique et l’aspect schématique. Par exemple, lors d’exercices sur les fonctions, il faut allier la lecture graphique de propriétés à leur rédaction algèbrique ou littérale ainsi qu’à leur signification concrète. C’est en commençant par du travail sur ce type d’exercices que l’on arrivera à faire évoluer les différentes composantes de l’hétérogénéité propre à chaque élève.
La manière la plus adaptée pour faire travailler la classe sur ces exercices est de les faire travailler de manière individuelle puisqu’ils sont là pour aider chaque élèves.
La correction de ces exercices peut se faire de manière orale puisqu’ils ne demandent généralement pas de rédaction ni de raisonnement.
Ces exercices ont pour but de faire passer les contenus vus en cours dans la catégorie des outils exploitables pour démontrer des propriétés.
Par exemple, les transformations sont vues en cours sous forme de caractéristiques géométriques puis elles passent ensuite dans la catégorie des outils grâce à l’emploi de leurs propriétés spécifiques.
Ce sont donc des exercices d’apprentissage et à ce titre, ils doivent être accessibles à tous et leur difficulté doit être uniquement dans l’emploi d’une propriété du cours. Pour cela, leurs énoncés doivent détailler toutes les phases de raisonnement. Les supports de tels exercices doivent être variés afin de permettre à chaque élève de se trouver dans son mode d’évocation. Par contre ils ne peuvent pas prendre en compte toutes les motivations des élèves autres que celles du jeu et de la stratégie.
L’intérêt est donc de donner aux élèves des raisons pour apprendre le cours par la résolution d’exercices d’une difficulté moyenne. Ils leur permettent aussi de développer des stratégies pour résoudre un problème et d’apprendre à travailler avec le cours.
Différentes façons de gérer la classe peuvent être employées pour la résolution de ce genre d’exercices: soit un travail en groupe qui sera précédé d’un temps de recherche individuelle. Celui-ci permettra aux élèves de partager les différentes stratégies qu’ils auront employées. Sinon ces exercices peuvent être faits individuellement, permettant ainsi de développer le travail avec le cours.
Les méthodes employées pour la résolution des exercices font partie de ce que les élèves doivent connaître. Il faut donc qu’elles soient mises en évidence. Ceci peut se faire de manière orale ou écrite mais il doit en rester une trace. Il est important que les élèves en soient conscients. Pour certains les exercices suffisent, pour d’autres une synthèse sera nécessaire. A mon avis, il faut alterner la synthèse donnée par l’enseignant de manière orale ou écrite et celle faite par chaque élève suite à l’analyse des exercices, réalisée chez eux, sachant qu’en fin d’année de seconde, ils devraient construire les synthèses seuls car elles leur permettent d’avoir du recul face aux exercices.
Le rôle de l’enseignant est d’être une personne ressource tant dans l’aide apportée aux élèves que dans l’exercice qu’il donne.
Le rôle de ce type d’exercices est de mettre en application la stratégie de chaque élève et de donner à l’ensemble de la classe des exemples d’emploi du cours dans des exercices plus complexes demandant de la réflexion.
Pour cela, ces derniers doivent comporter des questions suffisamment ouvertes pour laisser une grande liberté dans le choix de la stratégie. Les questions doivent aussi être suffisamment précises pour donner une orientation des recherches. Enfin ce type d’exercices bien que d’une assez grande difficulté doit être accessible à la majorité de la classe.
La gestion de la classe à employer est plutôt celle de petits groupes, permettant ainsi des échanges entre les élèves à la fois pour les résultats et les stratégies. Il me semble préférable d’employer ici des groupes d’affinité dans lesquels il y a déjà une hiérarchie et un esprit d’entraide. Mais ces exercices peuvent aussi être donnés en devoir à la maison où il y a d’autres personnes ressources et où l’organisation du travail peut-être plus souple. Ceci n’empêche pas le travail en équipe bien qu’il se limite généralement à l’échange de résultats. Mais dans ce type de travail, il est important de demander une rédaction propre à chaque élève car elle nécessite la compréhension de ce qui a été fait et permet de vérifier le degré d’implication de l’élève dans le travail.
L’intérêt de tels exercices est de développer chez les élèves l’échange de stratégies et le travail en groupe avec une répartition des tâches. Ils permettent aussi de développer le dialogue explicatif. Ils mettent les élèves en difficulté, les incitant ainsi à chercher de l’aide.
L’inconvénient de tels exercices, c’est qu’ils ne sont pas accessibles à tous les élèves. Il faut donc que l’enseignant, par l’aide qu’il apporte, compense ces différences. Cette différence de traitement fait que ce type de travail ne peut pas être compter dans la note trimestrielle; cependant sa notation est nécessaire pour permettre à chacun de savoir où se situe le travail qu’il a fait.
Difficulté
Rôle
Mode de travail
Présentation
Exercices d’applications directes
Faible
auto-évaluation
apprentissage
individuel
questions fermées
Exercices de passage du savoir à l’outil
moyenne
groupe
démarche détaillée
Exercices de recherche
grande
stratégie
rédaction
questions ouvertes
Même si l’hétérogénéité semble exister depuis peu, il faut garder à l’esprit qu’elle a toujours existé car elle fait partie de l’essence même de la société. Mais ce mémoire nous a permis de voir qu’il n’existait pas une seule forme d’hétérogénéité et que sa gestion dépand de la manière dont on la voit. Pour la gérer, il faut donc commencer par l’observer et il est important de définir des moyens plus pointus que ceux que nous avons utilisés. Cette observation ne peut pas se faire sans prendre en compte tous les paramètres entourant les élèves. Il faut donc travailler avec tout le personnel qui les encadre. Cette observation ne peut pas se faire non plus ponctuellement. C’est un travail qui doit se faire sur plus d’une année pour pouvoir évaluer les résultats, ce que nous n’avons pas pu faire cette année.
D’un point de vue ministériel, l’hétérogénéité commence à être prise en compte. Ce n’est plus une illusion des enseignants. Si tout le monde est d’accord sur l’idée, les moyens matériels ne sont pas encore là, même si quelques structures comme les modules commencent à apparaître. Les établissements scolaires commencent à peine à faire face aux urgences. Ils vont donc pouvoir passer à la phase suivante qui sera la mise en place de structures plus adaptées.
Quant à la prise en compte de l’hétérogénéité dans les contenus, celle-ci ne peut être correctement faite par l’adaptation des méthodes préexistantes; de plus, il faudra des années d’expérience ou de recherche pour en créer de nouvelles vraiment valables. Nous ne pouvons actuellement adapter que ce que nous avons vu.
En conclusion, l’importance de la gestion de l’hétérogénéité est de former à la différence en essayant de ne pas attacher les élèves à des styles déterminés. Cette formation nous ne pourrons la donner qu’en diversifiant nos approches, nos présentations et notre pédagogie. Un autre rôle important de la gestion de l’hétérogénéité est d’aider les élèves à mieux vivre l’école. Je ne pense pas qu’il y ait de grandes différences de résultat entre un enseignant qui essaye de gérer l’hétérogénéité et un autre qui se contente de faire un cours magistral. Mais dans l’un des cours, il y aura davantage d’élèves qui auront une soif d’apprendre et ils seront mieux formés à la vie en société.
Bibliographie :
" La gestion mentale en mathématiques de la 6ème à la 2de " d’A.Géninet aux édition Retz
" Enseigner en classe hétérogène "de M.C. Grandguillot aux éditions Hachette Education " Pédagogie différenciée " de H. Przesmycki aux éditions Hachette Education
" Pour une pédagogie du projet " de I. Bordallo et J.P. Ginestet aux éditions Hachette Education
" Profils pédagogiques " de De la Garanderie
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